З історії математики

                                       Історія виникнення назв цифр

Один. Одна зі славетних філософських шкіл минулого — Піфагорійська школа — дала цікаві тлумачення багатьох натуральних чисел. Ці тлу­мачення базувалися на копітких дослідженнях властивостей цих чисел. Одиниця при множенні на будь-яке число дає це саме число; при по­слідовному додаванні одиниці маємо: 1,1+ 1 = 2, 2+1=3, 3+1= 4,..., тобто всі натуральні чис­ла, якими б великими вони не були. Отже, оди­ницю вважали духом, з якого виходить увесь існу­ючий світ; вона є «пращуром усього сущого, бо все суще існує завдяки одиниці».

Професор прикладної математики Казансь­кого університету Г.Б.Нікольський (1785—1844) так казав про одиницю: «В математиці є чудо­вий аналог священних істин, проголошених хри­стиянською вірою. Як не може бути числа без одиниці, так і не може бути Всесвіту без єдино­го володаря!» Натомість у давньому Китаї вва­жали інакше. Тут відзначали, що одиниця не має парності, а отже, поєднує парні і непарні числа. Оскільки парні числа в давньому Китаї вважали жіночими, а непарні — чоловічими, то одиниця ставала символом поєднання жіночо­го та чоловічого начал.

Два. Це перше парне число давні китайці шанували як знак жіночості. Піфагорійці вва­жали двійку символом матеріального атома, ос­кільки двійка утворюється з одиниці. Насправді ж два є початком нерівності, протиріччя, воно є судженням. Бо там, де є дві думки, народжується суперечка. З приводу цього Й.-В. Гете сказав: «Кажуть, що посередині між двома протилеж­ними думками лежить істина. Ні в якому разі! Там лежить проблема».

 Три. Перше непарне число, є символом муж­ності. До речі, 2 і 3 — єдині прості числа, що в натуральному ряді стоять поряд. До того ж 3 — єдине натуральне число, яке дорівнює сумі своїх попередників. За піфагорійськими традиціями, три — рухома частинка, якою стає матеріальний атом, приймаючи одну одиницю. Також її вва­жали першим справжнім числом, бо трійка має початок, кінець і середину. З є першим трикут­ним числом (Давня Греція), оскільки три камінці на площині легко утворюють трикутник.

Три часто зустрічається у різноманітних віру­ваннях. Три головні боги були у Вавилоні (Сонце,

Місяць, Венера), у Давньому Єгипті (Гор, Озірис, Ізіда), боги Давньої Греції також ділилися на правлячі трійки; давньогрецьких богинь долі Мойр, що плели нитку життя кожної людини, було три. Християнська релігія вшановує Свя­ту Трійцю, уклоняється Богу у трьох лицях (Бог - Отець, Бог Син, Бог Святий Дух), на стародавніх іконах Христа зображували як істоту, що має три обличчя. У александрійця Філона (1 ст. до н. е.) знаходимо вчення про Трійцю (три божествен­них сили: добро, могутність та слово, або ло­гос).

У літературі часто зустрічаються твори у трьох частинах - трилогії, художники створюють у трьох частинах картини - триптихи. У казках та при­слів'ях три зустрічається мабуть найчастіше за всі інші числа: три богатирі, ходити за три моря, тридев'яте царство. У народних звичаях та віру­ваннях число 3 простежується ще частіше: мо­литву зазвичай промовляють тричі, хрестяться також тричі, тричі співає півень. У чому секрет такої популярності цього числа?

 Три довгий час було граничним числом, яке мало окрему назву. Тобто далі за нього не раху­вали, просто казали: «багато». Воно вкарбува­лося у свідомість як найбільше можливе число.

Містика чисел також відобразилась у літера­турі. Надзвичайно рельєфно це простежується у житті і творчості італійського поета Данте Аліг'єрі (1265—1321). Його славетна «Божественна комедія» складається з трьох частин — «Пекло», «Чистилище», «Рай». Написана вона терцина­ми (тривіршами), кожна частина містить 33 пісні, і ще додаткова пісня у першій частині. На по­чатку розповіді автор зустрічає трьох звірів: Барса, Лева, Вовка (Жагу, Гординю та Жадобу). У другій пісні про поета непокояться три блаженні жінки. У збірці «Vita nova» поет розмірковує про філо­софське значення магічної дев'ятки — квадрата трійки. Він вважає так: «Число 3 є корінь 9. Якщо З дає 9, а Творець — є Трійця, то Донна [Беатріче] — є 9, вона є диво, коріння якого у Трійці». Данте возвеличував Донну Беатріче — йому було саме дев'ять років, коли він її зустрів, і число це було для поета божественним. До речі, 9 зу­стрічається й у «Божественній комедії»: 9 кіл Пекла, 9 сходинок Чистилища, 9 сфер Раю.

   Чотири. Чотири пори року; чотири апос­толи, які писали Євангеліє (Матвій, Марк, Лука, Іоанн), чотири вершники Апокаліпсису (Голод, Війна, Чума, Смерть).

Як і 3, число 4 достатньо довго було гранично великим числом. Трійку шанували як знак жи­вого світу, а четвірку, яка дорівнювала сумі трійки та одиниці, вважали символом усього видимого та невидимого. Піфагорійці вважали число 4 сим­волом сили, оскільки 1 + 2 + 3 + 4 = 10, і за до­помогою цих самих перших чотирьох чисел можна отримати всі числа першого десятка. Так чоти­ри ставало символом всього сущого.

Чотири — фігурне число, як і трійка. Трійка утворює трикутник, а четвірка утворює квадрат, прямі кути і рівні сторони якого символізують справедливість. Отже, 4 — число справедливості та усього сущого у цьому світі. Іменем четвірки клялися.

ілюстрацією до числа 6 є відома «Сікстинська мадонна» Рафаеля. На полотні зображено шість персонажів, папа Сікст має шість пальців на правій руці (до речі, у нього справді було шість пальців).

П'ять. Виражає, насамперед, кількість пальців на руці, отже, наштовхувало на десят­кову систему числення. Досить часто зустрічається у природі: морська зірка має п'ять променів, п'ять пелюсток мають деякі квіти; серцевина роз­різаного поперек яблука утворює зірку з п'ять­ма променями. П'ять є фігурним числом, бо утворює п'ятикутник. У давньому Китаї число 5 шанували як символ одруження, оскільки 5 = 2 + 3 — сума першого парного (жіночого) та першого непарного (чоловічого) чисел.

Шість. Як і три, є трикутним числом. Тут уперше в натуральному ряді зустрічаємося з по­няттям досконалих чисел. Досконалим числом на­зивається число, яке дорівнює сумі своїх діль­ників, виключаючи себе: 6=1 + 2 + 3, отже, 6 — перше досконале число. Крім 6, з піфагорових часів відомі досконалі числа 28 та 496. Унікальною

Сім. Містика числа 7 старша за легенди про всі інші числа: ідея Всесвіту мовою шумерів позначалася тим самим знаком, що й 7. Сім є абсолютним числом, оскільки є сумою 3 і 4, тобто всього сущого і несущого, відомого і невідомо­го. В давньому Вавилоні жерці проводили аст­рономічні спостереження із зикуратів — сім мо­нументальних башт, сім сходинок-терас яких відповідали планетам-богам, правителям Неба і Землі, семи грізним вітрам, семи воротам підзем­ного царства, семи дням тижня. Сім присутнє всюди, де є таємниця: сім днів творіння, сім кольорів веселки, сім музичних нот, сім днів у тижні, сім чудес світу.

Семиденний тиждень має точне пояснення свого походження. У багатьох народів був по­ширений місячний календар, і іноді Місяць на­зивали мірилом. Протягом 28 днів нічне світи­ло проходило чотири фази, які змінювалися кожні сім днів (насправді період = 27,53 доби). У багатьох народів сьомий день присвячувався богині Місяця і вважався небезпечним для ро­боти.

Внаслідок поширення астрологічних уявлень розповсюджувався і відрахунок часу за кількістю планет: Місяць, Меркурій, Марс, Юпітер, Венера, Сонце, Сатурн. Астрологія фактично на­в'язала семиденний тиждень, у якому кожна планета мала владу певного дня. Свідченням цього є навіть англійські назви днів тижня: Saturday — субота, день Сатурна, Sunday — не­діля, день Сонця тощо.

Вісім. Це перше кубічне число ряду; піфагорійці вважали його числом смерті, оскільки спостерігали наступне:

8x1 = 8,

8x2=16,      1 + 6 = 7,

8 х 3 = 24,      2 + 4 = 6,

8x4 = 32,      3 + 2 = 5,

8 х 5 = 40,      4 + 0 = 4,

8 х 6 = 48,      4 + 8=12, 1+2 = 3, тобто сума цифр добутку зменшується!

Дев'ять. Його вважали числом мудрості, долі, символом знань та «священним» числом (згадаймо Данте). Члени піфагорійської школи помітили, що сума цифр добутків на дев'ять є кратною дев'яти. Тому вони шанували 9 як символ мужності, постійності та — старості. Число 9 зустрічається у міфології: дев'ять муз, дев'ять голів Лернейської гідри тощо.

Десять. Число гармонії і краси, принаймні так вважали у Давній Греції. Обґрунтовується це просто: 10 є сумою перших чотирьох нату­ральних чисел - 10 = 1 + 2 + 3 + 4; до того ж це трикутне число. З числами 4 і 10 пов'язана така легенда. Якось Піфагор попросив когось полі­чити. Той почав: «один, два, три, чотири...», тут Піфагор його зупинив, промовивши: «Бачиш, те, що ти назвав четвіркою, є ні що інше, як десять, довершений трикутник і клятва наша!» Отож, піфагорійці клялися: «...тим, хто вклав у наші душі тетраду - джерело та корінь вічної влади».

 Дванадцять і тринадцять. 12 — це дю­жина. А13 називають ще «чортовою дюжиною». В далеку давнину існував календар, складений за фазами Місяця. Він був незручний тим, що 12 місяців вкладалися в рік із залишком в 11 днів. Через три роки залишок становив більше місяця і доводилося добавляти 13-й місяць. Це вносило плутанину в облік часу, крім того, три­надцятого місяця люди боялися через додат­ковий податок. Є ще одне пояснення непопу­лярності числа 13: якщо 12 має багато дільників, то 13 ділиться тільки на 1 і на само себе. Люди вважали, що після такого «щасливого» числа, як 12, яке було символом повноти, досконалості, повинно бути число з протилежними якостя­ми, і стали його уникати. У християнській релігії страх перед числом 13 пов'язувався з таким фак­том: за Євангелієм, у Ісуса було дванадцять учнів (апостолів), після таємної вечері, на якій були присутні тринадцять людей, один із учнів, Іуда Іскаріот, продав Христа за 30 срібняків.

На одній з єгипетських пірамід знайшли за­пис числа 2520. Це найменше число, яке ділиться на всі числа від 1 до 9 і на число 10. Враховуючи час, коли цей запис було зроблено, можна з упев­неністю сказати, що людська допитливість та уява вже здавна відшукували надзвичайне у магії чисел. Завісу таємниць магії чисел ми лише трохи відхилили вбік.

                                                 Література

1.Бородин А.И. Число и мистика. — Донецк: Дон­бас, 1975. - 152 с.

2.КордемскийА.В. АхадовА.А. Удивительньїй мир чисел: Книга для учашихся. — М.: Просвещение, 1986. - 144 с.

3.Звиняковський В. Зарубіжна література: Підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл. — К.: Генеза, 2004. - 352 с, с. 167-168.

4.Лицман В. Веселое и занимательное о числах и фигурах.—М.: Государственное издательство физ.-мат. лит, 1963. - 264 с.

                                  Терміни та їх походження

Абсциса (від латинського abscissus- що означає відрізаний, відокремлений) – дослівно перекладається, як відрізок. Цей термін у кінці XVIII ст. ввів німецький математик Г. Лейбніц.

Аксіома (грецького походження – означає повага, авторитет). Термін застосував вперше Арістотель у ІV ст. до н. е.

Апофема (від грецького «апофема» - та, що відкладена).

Аргумент (від латинського аргументум – знак, ознака, зміст, довід). Ввів у 1847 році Коші.

Арифметика (від грецького аріфмос - число).

Базис (від грецького базіс - основа).

Бісектриса (від французького bissесtгісе - яка розтинає навпіл) -пряма, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл.

Вектор (від латинського vehere - нести ). Ввів англійський математик У. Гамільтон.

Вертикальний (від латинського вертикаліс – вертикальний утворено слово вертекс – вершина, прямовисний, вершинний). М. І. Лобачевський у середині XIX ст. називав вертикальні кути «вершинними».

Гіпотенуза (грецькою мовою означає натягнута) – сторона що лежить навпроти прямого кута.

Гіпотеза (від грецького «гіпотеза» - припущення).

Гомотетія (від грецького «гомос» і «тетіо» - однакове розташування).

Градус (від латинського слова gradus - крок) - одиниця виміру кутів.Поняття градуса використовував ще давньогрецький учений Птоломей (бл. 100-178 р. до н.е.). Показуючи, як обчислювати хорди, він ділив коло на 360 частин, кожну з яких потім ділив навпіл, а діаметр на 1120 частин і т.д. Цей знак застосував у 1558 р. французький математик Ж.Пелетьє (1515-1582).

Грам (французьке gramme від грецького - дрібна міра ваги) - одиниця маси.

Графік (від грецького (graphikos) - пишу, рисую).

Дедукція (від латинського дедуктіо - виведення).

Дискримінант (від латинського discriminantis – той, що розділяє, розрізняє). Цей термін ввів англійський математик Д. Сільвестр.

Діагональ (від грецького «діа» - через, скрізь і «гоніа» - кут, тобто йде від кута до кута). Термін став загальноприйнятим лише у XVIII ст.

Діаграма (грецьке (diagramma) - обрис, малюнок) - графічне зображення, що наочно показує співвідношення між різними величинами, які порівнюються.

Діаметр ( від грецького (diametros) – поперечник кола) - відрізок, що сполучає дві точки кола і проходить через його центр.

Екстремум (від латинського екстремум – крайнє, останнє).

Індукція (від латинського індуктіо - наведення). Вперше термін ввів де Морган у 1838 р.

Інтеграл (від латинського інтегро – приводити до попереднього стану) – відтворення первісної. Вперше термін ввів у 1690 році Я. Бернуллі.

Ірраціональні (від латинського слова ір – не, без, тобто нерозумні, нереальні, несумісні).

Катет (від грецького катетос – висок, перпендикуляр). Термін поширився лише з XVIII ст.

Квадрат (від латинського quadratum - чотирикутник) - прямокутник з рівними сторонами.

Квадратура (від латинського квадратура – надання квадратної форми) – обчислення площі або поверхні фігури.

Кіло... (французьке кіlо від грецького- тисяча) - у складних словах означає «тисяча».

Коефіцієнт (від латинського со - з, разом і effisiens - той, що виробляє) - сталий чи відомий множник при іншій, звичайно невідомій або змінній величині.

Колінеарний (від латинського «ко -» - з, разом і «лінеаріс» - лінійний)

Конгруенція (від латинського конгруентіо – узгодженість, відповідність).

Конус ( грецьке слово, що означає кегля, шишка, верхівя шолому, гостроконечний предмет). Вперше ввів у ІІІ ст. до н. е. Евклід.

Координати (від латинського сoordinatum - упорядкований) -величини, що визначають помноження точки на площині. Увів німецький математик, фізик і філософ Г.Лейбніц (1646-1716). Йому ж належить ідея використання в сучасному значенні термінів «абсциса» і «ордината» (від латинських слів аabscissas - відрізок і оordinates - упорядкований). Ці терміни і позначення А (х) і А (х,у) увійшли в практику математики з XVIII ст.

Куб (від грецького кубус – гральна кістка).

Лінія (від латинського лінум – льон, льняна нитка).

Логарифм (від грецького слова logos – відношення і arithos - число). Вперше ввів термін Непер.

Локальний (від латинського локаліс - місцевий).

Максимум (від латинського максимум - найбільше).

Медіана (від латинського medius - середній)

Метр (французьке metre від грецького- міра) – одиниця довжини в Міжнародній Метричній системі мір і одиниць.Метричну систему мір введено у Франції (1791 р.) В основу цієї системи покладено одиницю довжини - метр. На честь введення метричної системи мір виготовлено медаль, на якій зроблено надпис : «На всі часи для всіх народів».

Мільйон (італійське millione - велика тисяча). Це слово вперше застосував відомий італійський мандрівник Марко Поло (XIII ст.), щоб краще описати надзвичайні багатства «Небесної імперії», як у давнину називали Китай. Слово «мільйон» значно поширилося в Італії і кінці XV ст. і тепер загальноприйняте.

Мільярд (французьке milliard - тисяча мільйонів) виникло в XVI ст.. Поширилося після 1871 р., коли війська Німеччини, окупувавши Париж, наклали на Париж контрибуцію в 5 мільярдів марок. Іноді називають більйоном.

Мінімум (від латинського мінімум - найменше).

Мінус (від латинського слова minus - менше).

Модуль (від латинського modulus - міра). Цей термін зустрічається у багатьох розділах математики та інших наук. Його ввів учень І.Ньютона англійський математик Р.Котес (1682-1716). Знак модуля числа  ввів у 1841 р. німецький математик К. Вейєрштрасс (1815-1897).

Монотонний (від грецьких слів «монос» - один і «тонос» - натягування, напруження).

Натуральне число (латинське numerous naturalis (natura - природа). Термін «натуральне число» зустрічається ще в римського філософа і математика А. Боеція (VI ст.)

Нуль (латинське nullus - ніякий) ввійшло в ужиток в XVI ст.

Ордината (від латинського ordinates – упорядкований, визначений). Цей термін у кінці XVIII ст. ввів німецький математик Г. Лейбніц.

Паралелепіпед (від грецького «паралелепіпедон» - паралельна площина).

Паралелограм (від грецького «паралелос» - той, що йде поряд, і «грамма» - риска, лінія). Термін вперше зустрічається у Евкліда.

Паралельний (від грецького рагаllelos) - той, що проходить поруч). Терміном паралельності користувався вже Евклід.

Периметр (від грецького - круг, коло) – довжина замкнутого контура. Застосовується переважно для многокутників.

Періодичний (від грецького «періодос» - круговий обхід).

Перпендикуляр (від латинського реrpendikularis - прямовисний) - той, що утворює прямий кут з прямою або площиною.

Піраміда (від грецького піраміс, пірама – староєгипетська назва піраміди).

Плюс (від латинського слова рlus - більше).Існують різні думки щодо походження знаків «плюс» і «мінус». Досить вірогідною є думка про походження цих знаків з торгівельної практики. Кількість проданого вина купець позначав на бочці горизонтальними рисками. Поновлюючи вино в бочці, він перекреслював горизонтальні риски.Заслуговує на увагу припущення, що знак + утворився з останньої букви латинського слова еt (сполучник «і»).

Призма (від грецького «призма» - буквально розпилене) - многогранник, дві грані якого (основи) є рівними многокутниками з відповідно паралельними сторонами, а бічні грані - паралелограми.

Пропорція (латинське ргорогtіоп - співвідношення, розмірність) - рівність двох відношень.

Процент (від латинського рго сentum - на сто) - сота частки числа.

Прямий (від латинського діректус та французького друа - прямий).

Радикал (від латинського слова радікаліс - корінний). Вперше зустрічається у XVI ст. У 1637 році французький математик Рене Декарт придав знаку корення сучасний вигляд.

Радіус (від латинського radius - промінь) - відрізок, що сполучає будь-яку точку з Його центром.

Раціональний (від латинського ратіо – розум, відношення).

Рефлексивність (від латинського «рефлексіо» - відображення)

Ромб ( від грецького  rhombos) - кружіння) - паралелограм з рівними сторонами.

Сегмент (від  латинського «сегментум» і означає відрізок).

Сектор (від латинського sector – той, що відсікає, відокремлює). Вперше застосував Евклід.

Симетрія (від грецького «симетріа» – означає правильне відношення, сумірність).

Синус (з арабської сінус – впадина, затока).

Скалярний (від латинського «скаляр» - число).

Стереометрія (від грецьког «стерео» - тіло і «метрео» - вимірюю – вимірювання тіл).

Сфера (грецькою мовою «сфайра» означає м’яч).

Теорема (від грецького «теорео» - придивляюсь, спостерігаю.)

Транзитивність (від латинського «транзитум» - перехід)

Транспортир (від латинського transporto - переношу) - інструмент, за допомогою якого будують і вимірюють кути на кресленнях.

Трапеція (від грецькогo tгареdzа) - столик) - чотирикутник, дві сторони якого паралельні, а дві інші - непаралельні.

Тригонометрія (від грецького «тригонон» - трикутник, «метріо» - вимірюю). Вперше зустрічається у 1595 році в заголовку книги німецького математика Пітіскуса

Формула (латинське formula - правило, спосіб).

Функція (від латинського function – діяльність, виконання). Цей термін ввів німецький математик Г. Лейбніц.

Хорда (від грецького chorde - струна) - відрізок, що сполучає дві будь-які точки кривої.

Центр (латинське сеntrum від грецького - вістря, гострий кінець) кола - точка, рівновіддалена від усіх точок кола.

Циліндр (від грецького «кіліндро» - вал, коток).

Циркуль (від латинського circulus - соло, круг) - інструмент, яким креслять кола або вимірюють відрізки, відомий давно, майже 2000 років тому, ним користувалися ще в стародавніх Вавілоні та Асирії. Існує багато різновидностей циркулів? Із загнутими кінцями для вимірювання внутрішніх і зовнішніх діаметрів предметів, пропорційні циркулі для кратного збільшення і зменшення масштабів (винайдений італійським фізиком і математиком Г.Галілеєм у 1607 р.)

Цифра (арабське аs – sifr - порожнє місце). Араби так називали знак, що показував відсутність певного розряду в запису числа.Цифри, якими ми користуємось тепер, були запозичені арабами з Індії до IX ст. В Європі вони з'явилися в рукописах у X - XIII ст., але дістали повне визначення значно пізніше - в другій половині XV ст. Тому сучасні цифри правильно називати індійськими, а не арабськими.

Шкала (латинське слово skalae - східці, драбина) - деталь вимірювальних приладів.